Ve tüm yönleri için geçerlidir.
Ansiklopedik YouTube
-
1 / 5
Yazılı daire özellikleri:
r = (− a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) 4 (a + b + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c)))));) 1 r = 1 h a + 1 h b + 1 h c (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))nerede a , b , c (\displaystyle a,b,c)- bir üçgenin kenarları h a , h b , h c (\displaystyle h_(a),h_(b),h_(c))- ilgili taraflara çizilen yükseklikler;
r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((p-a)(p-b)) (p-c))(p))))Neresi S (\görüntüleme stili S)üçgenin alanıdır ve p (\görüntüleme stili p) onun yarı çevresidir.
- Eğer bir A B (\displaystyle AB)- bir ikizkenar üçgenin tabanı, ardından açının kenarlarına teğet olan daire ∠ A C B (\displaystyle \angle ACB) noktalarda A (\görüntüleme stili A) ve B (\görüntüleme stili B), üçgenin yazılı çemberinin merkezinden geçer △ A B C (\displaystyle \triangle ABC).
- Euler teoremi: R 2 − 2 R r = | O ben | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), nerede R (\görüntüleme stili R)üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır, r (\görüntüleme stili r) içinde yazılı dairenin yarıçapı, O (\görüntüleme stili O)- çevrelenmiş dairenin merkezi, ben (\görüntüleme stili I)- yazılı dairenin merkezi.
- AB kenarına paralel I noktasından geçen bir doğru BC ve CA kenarlarını A 1 ve B 1 noktalarında kesiyorsa, A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
- Yazılı bir üçgenin teğet noktaları ise T (\görüntüleme stili T) daireleri segmentlerle birleştirin, ardından özelliklere sahip bir T 1 üçgeni elde edersiniz:
- T'nin bisektörleri, T 1'in orta dikleridir
- T 2 bir dik üçgen T 1 olsun. O zaman kenarları orijinal T üçgeninin kenarlarına paraleldir.
- T3, T1'in orta üçgeni olsun. O halde T'nin bisektörleri T3'ün yükseklikleridir.
- T 4 , T 3'ün bir dik üçgeni olsun , o zaman T'nin bisektörleri T 4'ün bisektörleridir .
- Bacakları a, b ve hipotenüsü c olan bir dik üçgende yazılı bir dairenin yarıçapı a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
- Üçgenin C tepe noktasından yazılı dairenin kenara değdiği noktaya olan uzaklık d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
- C tepe noktasından yazılı dairenin merkezine olan mesafe l c = r sin (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\gamma )(2)))))), burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve γ, C köşesinin açısıdır.
- C tepe noktasından yazılı dairenin merkezine olan mesafe de formüller kullanılarak bulunabilir. l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2)))) ve l c = bir b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
- trident hakkında teorem veya yonca teoremi: Eğer bir D- açıortayın kesişme noktası A bir üçgenin çevrelenmiş çemberi ile ABC, İ ve J- sırasıyla, yazılı olanın merkezleri ve kenara teğet olan daire M.Ö, o zamanlar | ben | = | D B | = | DC | = | DJ | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
- Verriere'in lemması: çembere izin ver V (\görüntüleme stili V) tarafları ilgilendiriyor A B (\displaystyle AB), AC (\ Displaystyle AC) ve yaylar B C (\ Displaystyle BC)üçgenin çevrelenmiş çemberi. Daha sonra dairenin teğet noktaları V (\görüntüleme stili V) kenarları ve merkezi yazılı daire üçgeni ile A B C (\displaystyle ABC) aynı çizgide yat.
- Feuerbach teoremi. Daire (dokuz) noktası üçüne de dokunur dış çevreler, birlikte yazılı daire. temas noktası daire Euler ve yazılı daire Feuerbach noktası olarak bilinir.
Yazılı dairenin çevrelenmiş daireyle ilişkisi
R R = 4 S 2 p a b c = cos α + cos β + cos γ − 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;)
Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları Segmente orta dik
tanım 1. Segmente orta dik bu parçaya dik olan ve ortasından geçen düz bir çizgiye denir (Şekil 1).
Teorem 1. Segmente dik açıortayın her noktası uçlardan aynı uzaklıkta bu segment.
Kanıt . AB doğru parçasına dik açıortay üzerinde rastgele bir D noktası düşünün (Şekil 2) ve ADC ve BDC üçgenlerinin eşit olduğunu kanıtlayın.
Gerçekten de bu üçgenler, AC ve BC bacakları eşit, DC bacakları ortak olan dik açılı üçgenlerdir. ADC ve BDC üçgenlerinin eşitliğinden, AD ve DB segmentlerinin eşitliği gelir. Teorem 1 kanıtlandı.
Teorem 2 (Teorem 1'in Tersi). Bir nokta bir doğru parçasının uçlarından aynı uzaklıktaysa, bu doğru parçasına dik açıortayda bulunur.
Kanıt . Teorem 2'yi “çelişkiyle” yöntemiyle kanıtlayalım. Bu amaçla, bir E noktasının doğru parçasının uçlarından aynı uzaklıkta olduğunu, ancak bu doğru parçasına dik açıortayda yer almadığını varsayalım. Bu varsayımı bir çelişkiye getirelim. İlk önce, E ve A noktalarının dik açıortayın zıt taraflarında olduğu durumu ele alalım (Şekil 3). Bu durumda, EA segmenti, D harfi ile göstereceğimiz bir noktada dik açıortay ile kesişir.
AE doğru parçasının EB parçasından daha uzun olduğunu ispatlayalım. Gerçekten,
Böylece, E ve A noktalarının dik açıortayın zıt taraflarında olduğu durumda bir çelişki elde etmiş oluyoruz.
Şimdi, E ve A noktalarının dik açıortayın aynı tarafında yer aldığı durumu ele alalım (Şekil 4). EB doğru parçasının AE doğru parçasından daha uzun olduğunu ispatlayalım. Gerçekten,
Ortaya çıkan çelişki Teorem 2'nin kanıtını tamamlıyor
Bir üçgeni çevreleyen daire
tanım 2. Bir üçgeni çevreleyen bir daire, üçgenin üç köşesinden geçen daireyi çağırın (Şekil 5). Bu durumda üçgen denir bir daire içinde yazılı bir üçgen veya yazılı üçgen.
Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özellikleri. sinüs teoremi
Figür Resim Mülk orta dikmeler
üçgenin kenarlarına
bir noktada kesişmek . 
merkez bir dairenin dar bir üçgeni ile çevrelenmiş Merkez hakkında anlatılan dar açılı içeri üçgen. merkez bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş daire 
Hakkında anlatılanların merkezi dikdörtgen hipotenüsün orta noktası . merkez bir dairenin geniş bir üçgeni etrafında çevrelenmiş 
Merkez hakkında anlatılan geniş daire üçgen yalan dışarıda üçgen. 
,Kare üçgen 
S= 2R 2 günah A günah B günah C ,
Sınırlı çemberin yarıçapı Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:
Bir üçgenin kenarlarına orta dikler Tüm dik açıortaylar keyfi bir üçgenin kenarlarına çizilmiş, bir noktada kesişmek .
Bir üçgeni çevreleyen daire Herhangi bir üçgen bir daire ile çevrelenebilir. . Üçgenin çevresine çizilen dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına çizilen tüm dik açıortayların kesiştiği noktadır.
Akut bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi Merkez hakkında anlatılan dar açılı daire üçgen yalan içeri üçgen.
Bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi Hakkında anlatılanların merkezi dikdörtgen daire üçgeni hipotenüsün orta noktası .
Geniş bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin merkezi Merkez hakkında anlatılan geniş daire üçgen yalan dışarıda üçgen.
Herhangi bir üçgen için eşitlikler geçerlidir (sinüs teoremi):
,a, b, c üçgenin kenarları, A, B, C üçgenin açıları, R çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Bir üçgenin alanı Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:
S= 2R 2 günah A günah B günah C ,
A, B, C üçgenin açılarıdır, S üçgenin alanıdır, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Sınırlı çemberin yarıçapı Herhangi bir üçgen için eşitlik doğrudur:
a, b, c üçgenin kenarlarıdır, S üçgenin alanıdır, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
Bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir dairenin özelliklerine ilişkin teoremlerin kanıtları
Teorem 3. Rasgele bir üçgenin kenarlarına çizilen tüm orta dikmeler bir noktada kesişir.
Kanıt . ABC üçgeninin AC ve AB kenarlarına çizilen iki dik açıortay düşünün ve kesişme noktalarını O harfi ile belirtin (Şek. 6).
O noktası AC doğru parçasına dik açıortay üzerinde bulunduğundan, o zaman Teorem 1'e göre eşitlik geçerlidir.